GARCH e EWMA 21 de maio de 2010 por David Harper, CFA, FRM, CIPM AIM: Compare, contraste e calcule abordagens paramétricas e não paramétricas para estimar a volatilidade condicional 8230 Incluindo: ABORDAGEM GARCH Incluindo: LISO EXPONENCIAL (EWMA) Suavização exponencial (paramétrico condicional) Os métodos modernos colocam mais peso na informação recente. Ambos, EWMA e GARCH colocam mais peso em informações recentes. Além disso, como o EWMA é um caso especial do GARCH, tanto EWMA como GARCH empregam o alisamento exponencial. GARCH (p, q) e, em particular, GARCH (1, 1) GARCH (p, q) é um modelo heterossegativo condicional autoregressivo geral. Os principais aspectos incluem: Autoregressivo (AR). A variância (ou a volatilidade) de amanhã8217s é uma função regredida da variância8282 da atual8217s regressa a si mesma Condicional (C). A variância de need8212s de tomorrow8217s está condicionada em8212 a variância mais recente. Uma variância incondicional não dependeria da variância de hoje8217 Heteroskedastic (H). As variâncias não são constantes, elas se expandem ao longo do tempo GARCH regride em 8220lagged8221 ou termos históricos. Os termos atrasados são variância ou retorno ao quadrado. O modelo GARCH (p, q) genérico regride em (p) retornos quadrados e (q) variações. Portanto, GARCH (1, 1) 8220lags8221 ou regride no último período8217s ao quadrado retornado (ou seja, apenas 1 retorno) e a variância do último período8217s (ou seja, apenas 1 variância). GARCH (1, 1) dado pela seguinte equação. A mesma fórmula GARCH (1, 1) pode ser fornecida com parâmetros gregos: Hull escreve a mesma equação de GARCH: O primeiro termo (gVL) é importante porque VL é a variância média de longo prazo. Portanto, (gVL) é um produto: é a variância média ponderada de longo prazo. O modelo GARCH (1, 1) resolve a variância condicional em função de três variáveis (variância anterior, retorno anterior2 e variância de longo prazo): a persistência é uma característica incorporada no modelo GARCH. Dica: nas fórmulas acima, a persistência é (b c) ou (alpha-1 beta). Persistência refere-se a quão rápido (ou lentamente) a variância reverte ou 8220decays8221 em direção à sua média de longo prazo. A alta persistência equivale a uma decadência lenta e uma redução lenta de 8220 para a baixa persistência média8221 equivale a uma rápida deterioração e uma rápida reversão de 8220 para a média.8221 Uma persistência de 1,0 implica que não há reversão média. Uma persistência de menos de 1,0 implica uma reversão para a média, 8221, onde uma menor persistência implica maior reversão da média. Dica: como acima, a soma dos pesos atribuídos à variância defasada e o retorno quadrado retardado é a persistência (persistência bc). Uma alta persistência (maior do que zero, mas inferior a uma) implica reversão lenta na média. Mas se os pesos atribuídos à variância retardada e ao retardo quadrado retardado forem superiores a um, o modelo não é estacionário. Se (bc) for maior que 1 (se bc gt 1) o modelo não é estacionário e, de acordo com Hull, instável. Nesse caso, a EWMA é preferida. Linda Allen diz sobre GARCH (1, 1): GARCH é 8220compact8221 (ou seja, relativamente simples) e notavelmente preciso. Os modelos GARCH predominam na pesquisa acadêmica. Muitas variações do modelo GARCH foram tentadas, mas poucos melhoraram no original. A desvantagem do modelo GARCH é o seu sic de não-linearidade Por exemplo: Resolva a variância de longo prazo em GARCH (1,1) Considere a equação GARCH (1, 1) abaixo: suponha que: o parâmetro alfa 0.2, o parâmetro beta 0.7, E note que omega é 0,2, mas erro do8217t omega (0,2) para a variância de longo prazo Omega é o produto da gama e da variância de longo prazo. Então, se alpha beta 0.9, então a gama deve ser 0.1. Dado que omega é de 0,2, sabemos que a variância de longo prazo deve ser 2,0 (0,2 184 0,1 2,0). GARCH (1,1): A diferença de notação entre Hull e Allen EWMA é um caso especial de GARCH (1,1) e GARCH (1,1) é um caso generalizado de EWMA. A diferença saliente é que o GARCH inclui o termo adicional para a reversão média e o EWMA não possui uma reversão média. Aqui é como obtemos de GARCH (1,1) para EWMA: então, deixamos um 0 e (bc) 1, de modo que a equação acima se simplifique: Isso agora é equivalente à fórmula para média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): Em EWMA, o parâmetro lambda agora determina o 8220decay: 8221 um lambda que é próximo a um (lambda alta) exibe decadência lenta. O RiskMetricsTM Approach RiskMetrics é uma forma de marca da abordagem da média móvel ponderada exponencialmente (EWMA): A lambda ótima (teórica) varia de classe de ativos, mas o parâmetro ótimo geral usado pelo RiskMetrics foi de 0,94. Na prática, o RiskMetrics usa apenas um fator de decaimento para todas as séries: 183 0,94 para dados diários 183 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Tecnicamente, os modelos diários e mensais são inconsistentes. No entanto, ambos são fáceis de usar, eles aproximam bastante o comportamento dos dados reais e são robustos à falta de especificação. Nota: GARCH (1, 1), EWMA e RiskMetrics são cada um paramétrico e recursivo. EWMA Recursiva Vantagens e desvantagens do MA (ie STDEV) vs GARCH Resumo gráfico dos métodos paramétricos que atribuem mais peso aos retornos recentes (GARCH amp EWMA) Resumo Dicas: GARCH (1, 1) é generalizado RiskMetrics e, inversamente, RiskMetrics é Caso restrito de GARCH (1,1) onde a 0 e (bc) 1. GARCH (1, 1) é dado por: Os três parâmetros são pesos e, portanto, devem somar para um: Dica: tenha cuidado com o primeiro termo no Equação GARCH (1, 1): omega () gamma () (variância média de longo prazo). Se você for solicitado a variação, você precisará dividir o peso para calcular a variação média. Determine quando e se um modelo GARCH ou EWMA deve ser usado na estimativa de volatilidade. Na prática, as taxas de variância tendem a ser reversas médias, portanto, o modelo GARCH (1, 1) é teoricamente superior (8220 mais atraente do que 8221) ao modelo EWMA. Lembre-se, que a diferença é grande: o GARCH adiciona o parâmetro que pesa a média de longo prazo e, portanto, incorpora reversão média. Dica: GARCH (1, 1) é preferido a menos que o primeiro parâmetro seja negativo (o que é implícito se alpha beta gt 1). Nesse caso, o GARCH (1,1) é instável e o EWMA é preferido. Explique como as estimativas do GARCH podem fornecer previsões mais precisas. A média móvel calcula a variância com base em uma janela de observação posterior, e. Nos dez dias anteriores, nos 100 dias anteriores. Existem dois problemas com a média móvel (MA): característica de fantasma: os choques de volatilidade (aumento súbito) são incorporados abruptamente na métrica MA e, quando a janela de fuga passa, eles são retirados abruptamente do cálculo. Devido a isso, a métrica MA mudará em relação ao comprimento escolhido da janela. A informação da tendência não está incorporada. As estimativas GARCH melhoram essas fraquezas de duas formas: as observações mais recentes recebem pesos maiores. Isso supera o fantasma porque um choque de volatilidade impactará imediatamente a estimativa, mas sua influência desaparecerá gradualmente com o passar do tempo. Um termo é adicionado para incorporar reversão à média. Explicar como a persistência está relacionada à reversão da média. Dada a equação GARCH (1, 1): Persistência é dada por: GARCH (1, 1) é instável se a persistência gt 1. Uma persistência de 1.0 indica que não há reversão média. Uma baixa persistência (por exemplo, 0,6) indica decadência rápida e alta reversão para a média. Dica: GARCH (1, 1) tem três pesos atribuídos a três fatores. Persistência é a soma dos pesos atribuídos tanto à variância retardada quanto ao retorno quadrado retardado. O outro peso é atribuído à variância de longo prazo. Se a persistência de P e o peso de G atribuídos à variância de longo prazo, então PG 1. Portanto, se P (persistência) for alto, G (reversão média) é baixa: a série persistente não é fortemente significante ao reverter, exibe uma descida de 8220s de baixa8221 em direção ao significar. Se P é baixo, então G deve ser alto: a série impassível significa fortemente reverter exibe 8220rapid decay8221 em direção à média. A variância média e incondicional no modelo GARCH (1, 1) é dada por: Explicar como o EWMA sistematicamente descontos dados mais antigos e identificar os fatores de degradação diária e mensal RiskMetrics174. A média móvel ponderada exponencialmente (EWMA) é dada por: A fórmula acima é uma simplificação recursiva da série EWMA 8220true8221 que é dada por: Na série EWMA, cada peso atribuído aos retornos quadrados é uma relação constante do peso anterior. Especificamente, lambda (l) é a proporção entre os pesos vizinhos. Desta forma, dados mais antigos são sistematicamente descontados. O desconto sistemático pode ser gradual (lento) ou abrupto, dependendo de lambda. Se lambda for alta (por exemplo, 0,99), o desconto é muito gradual. Se lambda for baixa (por exemplo, 0,7), o desconto é mais abrupto. Os fatores de decaimento do RiskMetrics TM: 0,94 para dados diários 0,97 para dados mensais (mês definido como 25 dias de negociação) Explique por que as correlações de previsão podem ser mais importantes do que as volatilidades de previsão. Ao medir o risco do portfólio, as correlações podem ser mais importantes do que a variabilidade individual da volatilidade do instrumento. Portanto, em relação ao risco de carteira, uma previsão de correlação pode ser mais importante do que as previsões de volatilidade individual. Use GARCH (1, 1) para prever a volatilidade A taxa de variação futura esperada, em (t) períodos para frente, é dada por: Por exemplo, suponha que uma estimativa de volatilidade atual (período n) é dada pelo seguinte GARCH (1, 1 ): Neste exemplo, alfa é o peso (0,1) atribuído ao retorno ao quadrado anterior (o retorno anterior foi 4), beta é o peso (0,7) atribuído à variância anterior (0,0016). Qual é a volatilidade futura esperada, em dez dias (n 10) Primeiro, resolva a variância a longo prazo. Não é 0.00008 este termo é o produto da variância e do seu peso. Uma vez que o peso deve ser 0,2 (1 - 0,1 -0,7), a variância de longo prazo 0,0004. Segundo, precisamos da variância atual (período n). Isso é quase dado a nós acima: agora podemos aplicar a fórmula para resolver a taxa de variação futura esperada: Esta é a taxa de variação esperada, então a volatilidade esperada é de aproximadamente 2,24. Observe como isso funciona: a volatilidade atual é de cerca de 3,69 e a volatilidade de longo prazo é de 2. A projeção para frente de 10 dias 8220fades8221 a taxa atual mais próxima da taxa de longo prazo. Previsão de volatilidade não paramétricaCalcular a volatilidade histórica Usando EWMA A volatilidade é a medida de risco mais utilizada. A volatilidade neste sentido pode ser a volatilidade histórica (uma observada a partir de dados passados), ou pode implicar a volatilidade (observada a partir dos preços de mercado dos instrumentos financeiros). A volatilidade histórica pode ser calculada de três maneiras, a saber: volatilidade simples, movimentação ponderada exponencialmente GARCH médio (EWMA) Uma das principais vantagens do EWMA é que ele dá mais peso aos retornos recentes ao calcular os retornos. Neste artigo, analisaremos como a volatilidade é calculada usando o EWMA. Então, vamos começar: Passo 1: Calcule os retornos de registro da série de preços Se estamos olhando os preços das ações, podemos calcular os retornos lognormal diários, usando a fórmula ln (P i P i -1), onde P representa cada Dias de fechamento do preço das ações. Precisamos usar o log natural porque queremos que os retornos sejam compostos de forma contínua. Teremos retornos diários para toda a série de preços. Passo 2: quadrado dos retornos O próximo passo é o pegar no quadrado de retornos longos. Este é realmente o cálculo da variância ou volatilidade simples representada pela seguinte fórmula: Aqui, você representa os retornos e m representa o número de dias. Passo 3: atribuir pesos Atribuir pesos de modo que os retornos recentes tenham maior peso e os retornos mais antigos tenham menor peso. Para isso, precisamos de um fator chamado Lambda (), que é uma constante de suavização ou o parâmetro persistente. Os pesos são atribuídos como (1-) 0. Lambda deve ser inferior a 1. A métrica de risco usa lambda 94. O primeiro peso será (1-0,94) 6, o segundo peso será 60,94 5,64 e assim por diante. Em EWMA todos os pesos somam para 1, no entanto eles estão diminuindo com uma proporção constante de. Passo 4: Multiplique Retornos ao quadrado com os pesos Etapa 5: Tome o somatório de R 2 w Esta é a variância EWMA final. A volatilidade será a raiz quadrada da variância. A seguinte captura de tela mostra os cálculos. O exemplo acima que vimos é a abordagem descrita pela RiskMetrics. A forma generalizada de EWMA pode ser representada como a seguinte fórmula recursiva:
No comments:
Post a Comment